今日の一問 数学（広島県・改）

－相似の問題－

下の図のように、円Oの円周上に３点A,B,Cがあり、∠AOC=90°です。点Bにおける円Oの接線と線分OCの延長との交点をDとします。線分OAの延長上にEO=ODとなるように点Eをとります。点Eから直線OBに垂線をひき、直線OBとの交点をFとします。

このとき、EF=OBであることを証明しなさい。

 

 

 

 

 

 

 

＜答え＞
△EOFと△ODBにおいて
EO = OD　・・・①
∠EFO = 90°　・・・②
BDは円Oの接線であるから
∠OBD = 90°　・・・③
∠AOC = 90°であるから
∠EOF + ∠BOD = 90°　・・・④
また、③より
∠ODB + ∠BOD = 90°　・・・⑤
④,⑤より、∠EOF = ∠ODB　・・・⑥
①,②,③,⑥より、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから
△EOF ≡ △ODB
したがって、EF = OB

 

＜ワンポイントアドバイス＞
直角三角形の合同条件は以下の２パターン。どちらも条件に斜辺が含まれることがポイントなので、２つとも必ず覚えておこう。

・直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい。
・直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。

 

 - ★★☆（標準問題） 数学