今日の一問 数学（愛媛県・改）
2014/02/25
－確率の問題－
下の図のような正八角形があり、１つの頂点にはAが、他の７つの頂点には、１から７までの番号がふられている。
１から７までの数字が１つずつ書かれた７枚のカードから２枚のカードを取り出し、カードに書かれた数字と同じ番号の２点と、点Aの３点を結んで、これらの３点を頂点とする三角形をつくる。このとき、その三角形が直角三角形となる確率を求めよ。ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
＜答え＞
７分の３
点Aを含む３点を結んで三角形を作るには、残りの１～７の頂点の中から２点を選べばよいので、７枚のカードから２枚のカードを選ぶときの組み合わせを考えると、全部で２１通り（7×6÷2=21 ※注：「１・２」のペアは「２・１」と同じなので２で割る）になる。
次に、直角三角形の組合せを考える。正多角形は円に内接するので、円の直径と円周角との関係から、以下の９つの組み合わせが直角三角形になることが分かる。（５～７の頂点は重複する（例：５→１は１→５と同じこと）ので無視できる。）
＜ワンポイントアドバイス＞
まず、すべての組み合わせ（直角三角形を含むあらゆる三角形になる組み合わせ）の数を求めることができなければ何も始まらないので、基本的な考え方をしっかり理解しておこう。
３つの頂点のうち、Aを１つ目の頂点と考えると、A以外の７つの頂点から２つ目に選べる頂点は７つあって、残った６つの頂点から３つ目に選べる頂点は６つあるので、７通り×６通り＝４２通りという考え方をします。このまま重複する組み合わせを考えなければ、直角三角形になる組み合わせは１８（上の図の２倍）あるので、求める確率は18÷42=3/7で同じ確率になります。
